數學的危機與AI學術的前景

數學正在陷入危機嗎？至少，數學家們正面臨前所未有的衝擊。然而，數學本身或許正步入一個黃金時代。這種矛盾處境，很可能在未來幾年內波及眾多學科，因此，即便是那些並非數學家的學者，也有必要關注當前數學界的狀況。作為一名哲學邏輯學研究者，我比許多純粹人文學科的同行更接近數學，也因此更早感受到了這場危機的衝擊。

自ChatGPT等大語言模型問世以來，起初人們驚歎於它們的語言能力，卻對其數學能力嗤之以鼻。然而，隨着“推理模型”的發佈，從OpenAI的o1到o3，局面發生了根本變化。這些模型通過大規模強化學習，學會在給出答案前進行內部“思維鏈”推理，能夠分解問題、識別並糾正錯誤、嘗試新路徑。它們的性能隨訓練和推理計算量的增加而提升，尤其在可驗證的領域，如編程和數學，表現得極為出色。

一年多前，OpenAI和谷歌相繼宣佈其模型在國際數學奧林匹克競賽中獲得金牌。此後，模型能力不再侷限於封閉問題，開始涉足真正的研究性數學。最近幾個月，一系列長期困擾數學家的猜想被大語言模型解決：單位距離猜想被ChatGPT的內部模型推翻，而雅可比猜想（在維數大於2的情況下）被Claude Fable 5找到反例。這些並非瑣碎問題，而是各自領域中的重大開放問題。值得一提的是，模型往往並未給出證明，而是構造出反例，從而否定猜想。

這種模式的典型例子是Dmitry Rybin對Dinitz-Garg-Goemans猜想的挑戰。他僅僅給出了“你應該取得突破”這樣簡單的提示，在模型未果後再次催促“繼續搜索，深入理解問題結構”，最終模型生成了一個已被數學界驗證的完整反例。目前，社區在vibemathed.com網站上追蹤AI解決數學問題的進展；就在幾周前約有60個問題，到本文寫作時已達220個，並且每幾天就可能翻倍。社交媒體上，各種水平的用户都在分享用AI破解猜想的提示，甚至有人戲稱自己為“猜想城市市長”。

將這些反例視為無頭腦的暴力搜索是低估了AI。單位距離猜想反例的想法被多位傑出數學家稱為“漂亮”，它將代數數論的深刻思想應用於組合幾何問題。雅可比猜想的反例雖然簡短，但背後顯然需要深刻的問題理解。令人震驚的是，陶哲軒也藉助ChatGPT來理解Fable 5的證明，並發表了與AI的對話記錄。在對話中，ChatGPT像導師一樣耐心指導他，説“正是如此”，並給出詳細解釋。讀到這段交流時，我才真正意識到形勢的嚴峻。

那麼，數學家將何去何從？上週，在2026年國際數學家大會上，陶哲軒以“AI能力猜想”為題發表演講。這一猜想並非具體猜想，而是一個框架，可以填入不同的參數，形成關於未來AI數學能力的多種具體預測。他提出，即使AI在問題解決上表現出色，人類數學家在證明流水線中的角色也將發生變化。傳統的數學研究側重於“證明生成”，而未來在“證明充裕”的時代，數學家可能更多投入於證明驗證、闡述與規範化，把AI生成的成果轉化為數學界的共同遺產。

Grant Sanderson在Dwarkesh Patel播客中提出一個比喻：未來的數學家更像是藝術館的策展人，而不是藝術家本身。他們需要從AI生成的浩瀚數學結果中挑選出值得學習的部分，組織成連貫的體系，並以他人能理解的方式呈現。這確實是一種有趣的想法，但令人沮喪。想象一下，告訴一位藝術家他不再需要創作，只需策展別人的作品，極少有人會接受。數學家亦然，他們渴望推動研究前沿，而不僅僅是整理他人成果。這場“數學危機”本質上是對人類數學家身份的挑戰，它迫使我們重新思考，在AI加速發現的未來，人類智力工作的意義究竟是什麼。