OpenAI的數學突破：發揮人工智能的優勢

上週，OpenAI宣佈其內部AI模型推翻了埃爾德什單位距離猜想，這是離散幾何中的一個著名問題，困擾了人類數學家80年。OpenAI向幾位數學家提供了早期訪問權限，並公佈了他們的反應。菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯寫道：“毫無疑問，單位距離問題的解決是AI數學的一個里程碑。”多倫多大學教授丹尼爾·利特表示：“這是AI自主產生的結果中第一個讓我本身感到興奮的例子，而不僅僅是作為一個前兆。”

這可以説是AI系統首次找到解決重大公開猜想的證明。這令人印象深刻，但我並不認為這是AI在數學領域進步軌跡中的根本性突破。三年前，LLM還在努力解決算術問題。直到去年，LLM才開始在高中數學競賽中取得優異成績。

今年1月，我參加了全球最大的年度數學會議——聯合數學會議，瞭解到AI系統開始對數學研究做出貢獻，但僅限於有限的環境。將AI輸出轉化為可發表的定理需要大量的人為解釋。OpenAI的新結果是這一進展的下一步。AI模型巧妙地運用了來自多個數學子領域的現有思想，創建了完整的證明。但它並未開創任何真正的新技術。此後，人類數學家對該結果進行了整理和擴展。

這指向了一箇中期未來，人類數學家與AI模型相輔相成：AI對過去工作的瞭解比任何在世的人類都更廣泛，並且更願意嘗試那些不太可能成功的繁瑣證明策略。但人類仍然能夠更深入地思考任何一個問題，並提出更有趣的問題。這種情況可能不會持續太久。AI系統在數學方面進步如此迅速，以至於十年後人類數學家將扮演什麼角色——如果還有任何角色的話——尚不清楚。

單位距離問題

保羅·埃爾德什是歷史上最多產的數學家之一，一生撰寫了超過1500篇論文。他最偉大的天賦之一是提出那些表述簡單但根基深厚的問題。1946年，他提出了單位距離問題。想象一下，你在二維平面上有一些點，並測量每對點之間的距離。例如，在五個點的情況下，有三對距離恰好為1個單位。問題在於：能否重新排列點，使得更多對點的距離恰好為1？答案是肯定的，但點數增加後，問題變得極其複雜。

因此，埃爾德什轉而研究對於n個點，單位距離對數的上下界。他假設點以網格排列，以此計算下界。OpenAI的AI證明這種假設是錯誤的，並展示了一種更復雜的點排列方式，使得單位距離對數更多。AI在高維空間中構建了一個網格，然後將這個更復雜的結構投影到二維中，並使用了代數整數而非普通整數網格。這種高維網格具有更豐富的結構，允許在相同數量的點中容納更多單位距離。

儘管AI的證明沒有明確給出可能的單位距離對數，但人類數學家威爾·索温證明，該對數至少以n^1.014的速度增長。雖然增長率看似很小，但對於非常大的n，這將遠大於埃爾德什方法產生的數量。不過，該結果並未完全解決問題，單位距離對數的上界仍為n^1.333，需要進一步研究。

該結果在AI數學中的地位

如果在上週之前問我，LLM對數學最創新的貢獻是什麼，我可能會指向Google DeepMind的AlphaEvolve系統。AlphaEvolve利用LLM作為優化過程的引擎，能夠在某些問題上找到比人類更好的解決方案。但AlphaEvolve仍需要人類將問題框架化為優化問題，並將AI輸出轉化為可用的數學。

OpenAI的結果是向直接輸出正確答案方向邁出的重要一步，但也符合之前AI輔助數學的模式。其他公司也在開發類似系統。這一進展表明，AI在數學領域的應用正在快速深化，未來人類與AI的合作將更加緊密。