Experience using AI software to prove Euler sum results [pdf]
This paper shares practical experience using AI software, such as chatbots, to prove Euler sum results, demonstrating the potential of AI in mathematical proofs.
%PDF-1.5
%����
40 0 obj
>
stream
xڕYɒ�8��+tVD��}�Ӹ���pOLtW��>@"$1L�j�rY�/PK���E@"�x�A�b��?����~����?&�".�$γ��f�q�eբ��0���s��=����a��u����a�FIp�~+ݷOҎ�fz������Ӊ� ��
4��~t�cg��=���x�����!\
��:�.O�(+ˤ
�:�7�ۧ��rp�9��;�v�D\�"����2N�g�e�xً��
�>��:���L�ЛN�ޙ�P�3��N" ����I~�Q�[�(��V]�>�?XXUΕB���{{p��ʣw�~���sC/-DZuv?���
{��)�2�!Am���F��Wt}�l�̡�����^ڏ�͓|��=�x
���yU��Y]۴rYB�������0������N�F:e�[U�
�&(�C���-ց��K[dq�asgYK�lC����MM���q=�Bq9]##�3�`�ͱc�¼�з�E� %���"��4+8�,�,�#��4A8R/#FO�C
|��E��t��%�5bAR(��45��jח杪K��kG��դ�_������W�~� 7>8-�։6p����KH�9��a�r1YTZ�K�����G�J���;���M7U癒���[[�??T)���'�A>ܛ֫,���[�q,z�Sc�wM'b�(��ί?��י
�q7�Xx��]�gx�t'�vf���')�9��2�?��|��]'�Fk���"�J
O�AbH��T� ���I{6u �]S��%�N���K���@�yK��;W@�Xq���[�}
��t�i�e+e�%��'?*��(�(���q�t}!�>�}�k��g�ψ
Ś0u@���(�O���˥�
��D���r"�D�=���#S�"�״ή'��xL���IF0Bߵ�/���Pr�{x�ep�ԉ�+��UY��
H�d�Y*��S?R^�xǐ�qsf�%���ʓ�2��>F}1ꃳ/N�U[YEz����v��8��ַ�D�Cr�lMo!'���Y�B���D����N4$��e�W�2e��1��2EN�I|�5�$B"G�Z�ՠ�1�b�]#E
��L�>�PF^�'��٧%P��
�&�H��R%Q���!P:�k���\��ɹ^�9
����HlF2�����1Ac���n��if�IY}s���8�#�����|��Fv��E�uE���"..*�R�Ѱ�lu�(���!�����2��~�0��a�*�+ݳL������8����,q�آ#�����OI!�۰�RFO�|V�����&���F,�
��9���b�G��)0��*&�g(YI�����,#��>��3�O�}�vm̀=y����t�/'��������>vˏ�����M��y,~���0�̬�+g����Wl;�k�۪p;?��>�:I���̇���� �,S�ʏ
�C���f��B���z3�Z
��A�q-�=��E�N)Oƹ��W����w/)��0��o�R��|K���j���fR�mV�!2����Y缛�p��g�n�(�Ʈ�="PM�0��G��`�eG������S㔸'_A�~D��ɶ�"�d��������&u
���J�y�(/����(���֭�e__q��+w9o�y�?�}
�U�V��[{��ڏ��R�ݙF:�� �[�3�Z1����j�EU�[�`�6�֑٘Mgq:g�d��9��j*�?d����Di7Ҏ�j�����h�{��*�{��5��^���Xy�����$i�9L��'��9?>
stream
x��\Y��6~�_�ݗh����.?8�ě�$�g+[�䁖8�)R!%O&�~�� �!���Lt��&��$�Z4�L�� !�oƙ�F@G�
�+N>���#013�r.��e�Q�W763���h�֛a-�������M榠p�[!&׀����M�������`�S
�/7����#aʹX�*wC�0����p�D$�C`���,�]e�뱪�S)�fAu�]�NFX���5j���/�=��IW~u�����PI'�^�lX��WtϤ�؝l���ḫ}fUWm^ ��5��#�U�:�ݾL . w�q�g��/�~��-]q�eM����A�?��8ؐN��ɴ� �HBEW�.��%CK��%;�d��Jv8�;zv�ٱut��v�v��.�8D�M�܄�b�蕋ҁr������;�X�-��͜��|���W����Ŗ �O�-W�s�t�:}yv�6s�{M����Si�u��|_
���w{iP��!ۺ����U�z�=�;xY"mf�
�0D��.�t|(�Y��+'�D%�L z��+^'l\uf �,WT�����B)��T� �]��FxQ'��4ZPɉ���l8�v|����+�C9Xr�,#&�9�"(�j@���n��>�BOa@ȵ:\���1#D�zm
t�+�:=�K�+�����I"Xm��}0�0V�|���%��e*���9mW��+1Gep [.��{R/sJF)ٛ>#�ރ":��zl����F_��1�j��:���oc�Q;�+k���0[�ٳ^,���3>�Ӂ*{��;sW���k�O#�;�#6�����cȳ�2������Q�DN�U�S��2 ��qs�m�×�^��R��k2+\���?А�GZ�tS��q�"$�>~7N|$�6h1��Q�q:������\��^�8u�w��CĎvȯ�y���#[ ��j�c>�Q�탎��҂��x(�Ux^MX���\/)#�[O@�9�.�o�H���h�\�Fj>!� ��|����N��b����ǵ��P����/��a��Ëv�d0�(�'��DңZG&G��A�Pb�؞��T/�aO��"�E|�4���#Wn��q���qy�u0V-�^A����_�@�Ʌ����� �y$O-$��&�yr"�g~尋��y���>
stream
x���
���YJ�'�3��u��j�\�^zz�a(�� �7�
����g؞sp���i
j
�5^;*T$Dg�:s�ø'���[�$י�.&�Q���a�}�aL�S�:�u����Rf�7���\/L�%8�j"TF�����L/n�nxY�JD�Y"�mM�ۘ��F��S���iʹ�~��G&��|��@P?�=����͗%F�kz�d�a�'�&>fk��pk��%(�q��`}�GC/��+:t�G��$��(�w�d�r�U�
�b��;��u#�~������n�VNmw��e�[�9�5߽�,��o���9�j8�3�� �,%�V����Җ�y0zF� k|4��I��3������9�)��Dh����L"�0�d�)�fB�
֔������e1>��@��6��A��!��P�
uVo�s��!�e�I���}����p�7D8S�tK�U²���*$�������ҡg��Y��+����o�:�X�l���2�(x%�!�ڦ�ک$s�W]��!Q��ψH�ȹ�#�G���d.0*�)>h��nհ�~Ö� |���ҭ�������X�:#N�O,�m��{�iS�RN}�nS��F�m��0�Q!�9p��M���`�C]X���Ϥ_�M2�L��
>v�]�����ڭ����'Ί�,�3��K���0������L�įc8xP:�/i��l+8�&cnA%h/�=_����� �����Sv� ���B�x� ���L�o�&��� x����5��R�"^��ͼ����9�S\�myP\Qo���&ET�q�"�P�mZG��>�!.�d���F- �.�r��9�^���1n�N;P9�����ӯ�!�"w�oV���]XԺ��s��x��x8��F'� T@��'�g�$��RNJh�(��%$�*"�l�X�a�����F[�&��wʡE��,�� efn����������?Ώ�1�j�9g]+��W KIc,��~Ƙu�S��D����sY��1�$�-���w���84���٩���l��xRC?Ɏ̼d4��1JPq!�5�B�����E��������{Ff��w���se#�i>l���\_�"\!>&�u����L�p1�?l=�Q�\����}~��� �R���n]x:����*�����}4��>rv�5"7�G?���0��)3ڈm^D8�o�M�8�c�,��9��҈'.���
.ѣ��V%b��m�3���� 8z�I��� b���`��?�u_�����D��
t�'��{'��aF�D�'�i����w|cBn+�]�TJ% �"V��2�=xCgq�N ��{!�k� ��9N�LFG�r1�0���98c������,����8K� �4 d[����!�r��Ub��Px�c�bpH2��5�"�]��T�jr���q6�\ �怺lk��ދ�:����Q=|>��ϱ�p�
�m~��"�
&�e�vJ�>�j͊z���s8̖����=qA�/�r5�nd��~p�|1�췎$��F�w����j�3>�7Xj�������o�5���8_����a,!�т �(p�o@�O$�M�Is �x��lv�3
=�u��Vb)&��M����"y&���*�d�"J�S;�����3��9(VP��0r*�b#cdQ��s�
W��[�5�o���r̪S��.�C���R��y䘀�5\-�m��po��0r)h(9�B�_J�w���A�^Y�=��u�iL�*7��Bl�˕����G��Rw�����E)?�m���袇��[�q���w����X���C?s�ʦ�`��dy5��F����Z��9g�5��%ϩ�)�C���%у2���*��B����V�ܞ%���v>
stream
x��t������ݪ��X}@�(!���%E���{� 0�J.U�l^�eJ���[+{�5 �b|Ф~����z�1L�k8���S�3�J0�� ��
�I1����X�f��"�',ǂ$jë솽Ι�_�L��p�;�L��A89lKѳ�����Δ�8�M}ٗ�/Ј��|N��H|_m���!E
�c�'L:��e'�2��m�1�.ڰ���TY���r��%>p�a�M��Ȋf��'��#��v�_�ϋ|y��|��rW��K�Y��Ųޭ�u�_t�� �{���MWֻ�mr��;� @��\��6M݄���v�7E��Tv�~���BE�v��B�7�6�U4a֏���̟�8n�2�)�+��W�B̻��6�ûa\/VE[6�d8��:�p8L�
=�;�6�T8�*vk�3���~|U4��wR���{j��)�8'�V���ny���
��~���gM^��|�¹ ��+wm�� _p=��W�W�'@��?��- RK�x�h7@=�%�$�*����Z�^��7��/|���yX����h�r��Jݦ��v0zi��:,�P[@�2d�k��~�w4�����Pe^�}��({�+@����0��&z^m���0�h�S�0�֏N��o��(9��&�U
��U^n�W������+?GsgX�E�@�(>�ˮ���dwC�MS,�\�P�*����]��o��+�%�r��Tt�Fa�j��c��^���|W@eE���CU���t0�=�:܇m+��o�b��w�/�u�*��^�=�'��U�������� �@�_��
�ȍgyn�Xe��� :�G����R�tnΓ�����w?H����F�q�m�iA��Q��?�b��(R1q�a���;�a���I"w\��]S:��&��T�T��N:��ʛ�n:`*G�����
L��N+�!o>�'�0�� ��c��% ��:���Y��of�����}�m����===e+8e����9x}�f�X� ���:0�x��:[��@
7����A��E��ͷ��y�G}��{���1=^���.0 �Jc��L�Aޟ�T}n�6�H
!a��|h�U�� �`�l寸�
�i�#^���o���V��ͺB3诃�����ZZī?&ޗ�=����U����(�У��_�}w�0��Ϣ-:�_��A��YU�*�켮)Z�����n埗]Lep��"?�x8f��Tt;XZ���pE`��V}R�ѩ�=��� S�,�N�hޣ���KBqZ��~�J�*�Q:+�9U�$6#|'��Hߘ���K��Bv� �8N�>���*f�y ��O���&��=u�I�,&}��/���H>
��F"N��BE1-��X
I�8�Ҭ
tуf��V��uά��0�NMf(�z���5�d6�*=��;lD����W���:�e'�p1b�dj�����ބ��R�Y�R�nYϔ㬢� �ê�A�/���g���q�:�IGk͵iN�NI�7����R���d�;�]�Ǐ�D�>���_���a�/���e/{���g��;%�!� �N��p��ǖ�e��zN��էX��o]�l�p����u��yw��
~�w����.aܻ%A�Ѕ�l|-��0{����2S�|=�M��d���3)�
�LFp����f����� ��
�`��H$a7��9Nr�5�������cZ���$zɾ\%�_t299�D��d��~%����SZ=ȶcg�Lև�sk���h
t� )41R˲R7���x���)ЯzC��qAv�R o�Qt�yۤCc29H����ȱf�]� �������0F�iX:$�}l6x(�.��i!���L�jh�Q��Ǥ�$�Z)#n]b�L��[�,=S@�A��A�:��@�s�,�\��i��iւ�>|RU1���~��&V�����1�b?�Ǻrlx�K�S ױO�S���� ��Ok��
�+"MV(i�^�AJנ��x�4�E?�
����s�
�-Ԅ�
xH��֕�n*�&!������/Y��`�Ɩ�^(��9 ,��p�U�P"p��|W��˞xC��?|�?����e��y���ަ��ߋfȃ��~S����n-��
���h�,����=u�����a�0��!��C�X�����v�)
�|����|�|��ܓ���1e�P5���}*�p_�BnI��}������zH��x�ѕ�>�G�eYv}�.�?H�sC-��n���C��m"v?;�_�]�W����9svU���C^~���q�'����Nf����K�Is.�ܥO�P1˱d3&�z��~=���7�g|d��)�4Pͦ�?%�1;b�qI�~ o����>y���s��JW��������MN*K3J���/ Б���T�-�:Equ��_��/WG��o"2%�"T+{���q�a���z��E�>v�)��t�u�����Ge^��t����%h)��� 9"��}��>co!�x����v����A^�ŷX�L�)6�Z6�wa�-�6�h��a���;"Ń�-c��E�Hj�@8@U6�߂�m_��C�����]���>�!}�:���L�}����� Ŗ��é�
�*B�ԏ�?3(;����;�Z"@����?p5���-�������w�����|�,���p�����X�oL�`�]�O��>1O�Os�֩��\��!�O��C�ݪ�tP6��f�g\��BkZ۷��s����CW
endstream
endobj
105 0 obj
>
stream
x��ْ۸��_!�K4�M\�-?�&���8�V3�,gf
��e��a��LuQf�!f�D�Ոi@�q�?X8_ �d�'�h$�K�iw�Łs��� ؆�8���ð����8�4���9�¢�$� � ;��\j++gp�͕�t�j�
?n|� 9�s֔
�i�c�
.���[@��њƅ��y��(��ݹ��F~aBޗ=��X�vِ��oܞ��A)(��&`+%�b#�ӯ�3��y�R���.������a��~��
�7��.��%옣�a�,JdO�8P�Ǩ� ?#�"�$==÷�h�ِ��F��,f�;�d�VC_{�â��1�XܕU]�w��rx�8/�;�Z��?�Z�&k�SRG^����6��v�-��DfU���|���W�����'�јg[���pJ9���'��z}�ɦ��ت�����ʩ����2z��u���T�;p�V2���8eX�(��8(��p����U�կ����9��HG�D8���X�l��UP���)LY�V��я]5��a��p�@�:�}�3!w:�Y�:��m3��5�*j��H��^8��:CMt�)��V�4OT�w[�� �����f�V�e����N��Lђ�j��F�9��2�}-a����9�6Y��Jk���O�͋`��E�/}�KE�T���� ��� ̟}t��������C}D�1��B
k����
a���vol�
��������&��c���#+��G�s��;d����q?�;Y����(
ݶ�"�t�La��s��s����=��&��s����n��xK^���8G�*���/��~����w\��$�Ζ'�����d[0=W�zv����^��[��EoE}���%f�Ʌ����G�ae�~�?�A���H@�Ug��p��U,�c6�Z�]n�B�$��(I��1��%[dCGR5@�,�9 ��u����i��LgT�xP4=(��\�)��g�?.|���=]���H�lL 8ڧ� $�..+��G� T����Uv{���c���I���J��7wg�N�?��B�q�eLs`���o�&� J�!z;歷P���~� �;|�å4�������#�Qq�W�ܻﵒǼ�B"q"R�8"�C�d���b�؟f.�=s�g ��K^��� %�2���l0Q�SN� �����b���%�)������\���(�́��h
ʬ�������Ņ�����̝��\���ζv��8�Xh�
~�3$Wb���r!����دX���OFvR�ʤv����`��~ꥷR��:�����O#|�������K1x{��� ��>
stream
x���r���]_��!'&���:�$S;I37�L:�������`��{�^@\��D�J�Z,���m���F���Y�?�|{��1#�I����H�DI=��%���������j2�Z�/&S2�O�8LJl����J�������rU���ɔj�m_�6���z6�
*ë�l[���u�Un��*VK7>[���{�#����?��*O&S����|Q,7���o6��˰��䗷���$F��z�Ua?��l2e��3��Y�)~�9�{{�K _f������ζ����\mp��(m�
(�-إ�3�H&F1�3dBR;L��n���jQ�'2�Ƥw�H#�D+��"�X"�q�GpEU���=e���%>�6�U�p����Yd7S�M��MY
���q�������J�"�������4M#)b�bW�?�I'�h���oo�~=#��tDF��DK5��%w�8���t4���� ���S#F�%�Z���!Ą[�y,Hb��&�%D�.J�f�fl��\u��Ń�뉡�E�AFF����)��;��ю��H�C�bNjɁ��,����
�������
>������J/��E��p�ݗ�ֆ��^6#oI-�-��*fRY
���);I\/)���끋$���?H���0��@4r(�V���P�`i
��h�ѐ1ű@[
p��C��4�Pp�Ї�Ffr�b�J%,���
K�1��R��hU~h6)�g?y��� �rI�'�
�k�����������Ђ��7���f�%?q/�w ��ԬCO~�|��}�D�r���T�p� ���IS��0��7��C@S˫��D��3вF�G?s������?�>C:i����wa�c,�㧯y'�)�ƦD�h�tu}�ɳ��:2�r\湟R�bS�b)Z��y��ߜ,�m\�6n���_��{[T�mB�8��k+��p����r�j�/7�Ů}`e[���m�n3p��s�(|�2�Ƈ���5��J��#�!)�*kU��ŤѴ��x����FӝI�;Ζ�Xj�ӽ�m�EНM1��PT���ү���z$�[��U�I��3ܽ��E��cܱ�;\W�W��ih�i���$��.渊u�37�f���t#�m��&|�L��k�K�;��h��0���pm�j�i�]lʪ�f����(�23؍�"�CQ��ͬ>�V�����:�&��� �id�S����JC�o$2�55�dr��}ҹ����v�@�"Z�"[k8۵
�|#��W��#����y�y}��p�(0 _e;�㽵ZT��
����4%�0������� ���h,
�.�/)����)��
�2�'i+r�F�S�e_�ڄ˚�O���憄o���M��'wH9�A8��g
�Q��j9d��]�B��v��������C�m���6��{��Ns�X�cg��N��y@�ZyةS֩����/M���J�k�8�l���ab0 y=9v��K�n�T�!r���Js0��bx[P�&j3�L"����D0����J�=��^q���^��M>�_g��^��~a5�U!Tٖ���4����k������[�w�G=��ҞI�d*d��
��?�e�\�-�>ܓ~�yĻ��b0��� )@Ҡ0B|�f8�;������m��_Xp����+L|��Uˬ����R]��4�]��Dȳ�#O�!�ѡ���r��p�$a-�J�
�
�4z�¥ϋyV,"�>{rss_�v>
stream
xڽ�n�8�=_�;O26�u�5�b���$� 10�y�%v7����|��E��-;�yX��b�H�]�V�U�z�$�ﳫ'��p&~�d��j��?�֫���(NWW�ꋗ���a�zϻ����t��W�.^�Ū��,�pc�:�B���m{v�ġ�խ��~
�4�Ɲf���]gqx�nj+�;52p��X��=�Y�������L��k��ی�r{垲}����$��sX�v'�^��t�HV�A�-�:B�,���=��EH'7];��0�n��Ս�7�6>`Í��'�����4hJW��-��k���������C�"/b�0|�}�&!�*��r4>���3���!G�,���#��y�'Ezt�)���wH�>��O��O,��d9B���3նѕQ��cd��r*r�V���P��.?D�ك�4b���I>�1���lb9/HK�9W�5gWF�MH�N�xR���3Oۀ�'���'
������T6S��2!)�n�9v���Ӯ�~����k����=���V�Q�S����B&��I�'�NH�u]�C��G?_�FG~I[��`���a���9��K��R���۩�8x�%{�n�S��)��/[��,���������d�$�v+��Ʉ�2V���{��)>��
N�?���
�j���^��tu��#Ir�y先?��"?�����
��{�Z������=��e�WsU�,Y�5=��L��- W��sy��''�nRp��E0)���o���_@P~������A�}.w]��BS0-�쮵(������xv�(��8=b6�PPj? O|�gu�k�D��E]@�z���$k�4p��#È7���AH�G�7K���ĉ �3.�cq&�����Z�@�f�wɨ�V��qg�i�c"�7`��-��_���00rH��Y�
)����
��|g0���Hlɫ��!�(�
�:h
7�|�y-�R|0�HT�Oe�偤�X �EpH��1�J��K�]��1��Gr�_�>u������i�U��#K�ة�?����a3*�k�Ω4�4�60��r�:ˇ�-*���"K�S^콜j-H���OF��{j�:-�@Ğ�����W�g�4���֯�HU�g~�e�\�WR���5�N�/
f��O��x�Q�ͩ���_��tQ���mE�����t0!L���r)�"����M�y����m�7gj�tHx�h����� !�Ӡ�����|�v�e/I�sit;�"�S
�����Y��u�g� �h���(�(pFA�{�VF��_xߡ+@�x).����m����p���MN�Ja0��=5�����>
stream
x��Z[o��~ׯ���A˽_
��S�A[ �S��&~��DD]�������%�rhI(p����G����uW� f��1)$�Lj�S:ʔ����6��2%�Qv���0e��s*0����z�]�dZ�J��l@-ePL[,��Hc}㰄g� �Xכ�Є�������-2%��t�Xy�u�2ҍ�D�
��1�@��,&�:�n6s>
�#�t$��T�B)aF^�V�/2��-4��^A�ؼ��&b��z��F��80��`mk��{2d�|$S�EI�;-b�XS���� Z��>DE�LZ�rtr²K�]�K��e��4i�r��k��o�W��w
[truncated for AI cost control]