面向數學家的AI智能體

大多數數學家與AI的互動方式相似：向ChatGPT提問，得到類似證明的回應，然後繼續工作。這種模式基於一種普遍看法：如果ChatGPT幾次嘗試未能解決問題，那麼AI永遠無法獨立解決。然而，這種看法是錯誤的。實際上，有一種更強大的系統——AI智能體——能夠以更高的成功率完成數學任務。

AI智能體是能夠使用工具的人工智能。這裏的工具包括操作系統、Python、LaTeX編譯器、SAGE數學軟件、瀏覽器等。智能體可以與環境交互並實際“執行”任務。OpenAI的Codex是一個在本地計算機上運行智能體的編碼框架。與普通聊天窗口相比，Codex提供了三大優勢：文件作為持久狀態（問題陳述、定義、嘗試都保存在目錄中）、上下文控制（智能體只讀取你指定的文件）、工具使用（如Gurobi、SAGE、LEAN等）。此外，智能體可以長時間自主運行，讓你離開後回來查看進展或失敗記錄。

實際使用步驟如下：首先，下載Codex程序並用ChatGPT賬户登錄，或者直接使用ChatGPT Work。其次，將模型設置為最高可用版本（目前為gpt-5.6-sol ultra）。然後，將精確的數學斷言替換到提示詞模板中。提示詞模板要求創建多個文件來管理狀態：STATEMENT.md（精確陳述和成功標準，在整個運行過程中固定不變）、REGISTRY.md（每類方法族的記錄，包括族名、嘗試的精確斷言、剩餘缺口、最小的已知障礙、下一個決定性測試和狀態）、FAILED.md（所有封閉路線的記錄，包括嘗試的內容、確切障礙及其證據、以及什麼會使重試具有實質性的新內容）、以及PROVED.md（僅記錄提升的結果，每個結果帶有狀態標籤和證明或證書）。這些文件成為智能體的記憶，對話內容在上下文壓縮後會被丟失，但這些文件會保留。

智能體使用嚴格的狀態詞彙來標記每個聲明的可靠性：候選（由智能體生成，尚未檢查）、自審計（僅由其作者或上下文重新檢查）、驗證者支持（經過敵對審計和獨立重建）、提升（驗證者支持並記錄在PROVED.md中）、獨立審計（由不同模型家族或人類額外檢查）。標籤只能通過驗證步驟提升，且後續論證的確定性不能超過其最弱前提的標籤。編排規則要求最多6個併發子智能體，分波次工作：首先採用多樣化的方法組合，包括不同的表述、不變量、歸約、代數視角、結構歸納、分解、嵌入、極值論證。不要過早透露當前偏好方向，以保持獨立性。每條路線結束時需在REGISTRY.md中明確分類為方法失敗或反證。每個候選證明需經過一個敵對審計輪次（由另一個智能體試圖反駁）和一次獨立端到端重構（由未見過證明的智能體基於表述和關鍵思想進行）。只有通過這兩步，標籤才提升為驗證者支持。最終候選結果還應由不同模型家族進行額外檢查。

報告門限要求僅在出現重大更新時彙報：完整的證明或經過認證的反例、移除已命名依賴的已證明引理、關閉路線的極小障礙、或更嚴格或更簡單的帶證明定理。新符號、重構、另一個有限計算或歸約到定理強度的引理都不算重大。計算規則要求僅在必要時編程，且每次運行需記錄來源文件、方法族ID、超時、日誌和輸出位置。網絡政策限制僅用於普通數學背景或標準命名定理，禁止搜索當前問題的解決方案。持續性要求至少運行8小時，只有在完整肯定解通過全部驗證後才返回；否則繼續維護FAILED.md和REGISTRY.md。

此外，文章還介紹了使用編排器的概念：一個主智能體監督多個子智能體，這比單個智能體更有效，因為後者會快速填滿上下文窗口。提示詞模板結合了CDC提示詞、Danus和個人經驗，雖不完美但覆蓋了90%的需求。通過這種方法，數學家可以更有效地利用AI解決開放問題，並記錄教訓以便未來改進。