テオ予想が35年数学の難問を解決、誰も予測しなかった項を発見

1980年代、Graffitiというプログラムが誰も考えたことのない質問を投げかけ始め、そのうちの一つがポール・エルデシュの注目を集めました。約40年後、ランディ・ダビラは同じ質問をTheo-Conjectureに託しました。これは大規模言語モデルによって支えられた自動発見システムで、数学的アイデアを提案、テスト、修正するループを回します。返ってきたのは、エルデシュとその協力者たちが推測していた答えの証明、誰も予測しなかった予想外の追加項、そしてAIエージェントと人間の数学者が協力して問題に取り組む姿の一端でした。

次の図を想像してください。整数2から30を取り、それぞれを点で描きます。2つの数が1より大きい共通因子を共有する場合、それらの間に線を引きます。例えば、6は10に接続されます（両方とも2で割り切れる）、15は25に接続されます（両方とも5で割り切れる）。最終的に得られるのは、点（頂点）と線（辺）からなる数学的なグラフです。素数を金色で塗ります。2つの異なる素数は決して因子を共有しないため、金色の点は互いに接続されません。驚くべきことに、素数は単なる非接続点の集まりではなく、互いに全く接続のない最大の点群を形成します。数学者はそのような群を独立集合と呼びます。

グラフ内の任意の独立集合を選びます。その中のすべての数は互いに互いに素（因子を共有しない）でなければなりません。各数から1つの素因子を取り出します。これらの数は因子を共有しないため、取り出した素数はすべて互いに異なります。つまり、独立集合に集められる数の数は、元々利用可能な素数の数を超えることはありません。式で書くと：α(Gₙ) = π(n)。ここでGₙは整数2からnで作られたグラフ、α(Gₙ)はその最大独立集合のサイズ、π(n)は有名な素数計数関数です。

これはそれ自体で簡潔な恒等式ですが、さらに奇妙なものへの扉を開きます。グラフの構造に対する単純な算術で素早く計算できる数で、素数との明らかな関連性がありません。グラフの最大独立集合を見つけることは一般に難しい計算問題ですが、頂点の次数（辺の数）と呼ばれるはるかに簡単な数があります。次数を独立集合の下界に変換するトリックがあり、Havel-Hakimi手順と呼ばれます。結果として得られる数をグラフの残差R(G)と呼びます。残差の計算は高速で、常に下界を与えます：R(G) ≤ α(G)。私たちの素数グラフでは、R(Gₙ) ≤ π(n)となります。問題は、この次数のみの計算が素数計数の正しい桁数を捉えるかどうかです。

この問題には驚くほど長い歴史があり、機械に独自に数学を提案させる最初の本格的な試みの1つから始まります。1987年、Fajtlowiczは残差をGraffitiに導入し、それが独立数を超えることはないと予想しました。Favaron、Mahéo、Sacléは翌年にそれを証明しました。Graffitiは次に整数上の公約数グラフに注目し、この問題は「壁に書かれた」未解決問題リストに登録されました（予想448）。エルデシュは残差が少なくともn/log nの割合で成長することを示しました（素数計数関数と同じ速度）。グラフ理論家のWilliam Statonと協力して、主要定数をより正確に特定しました：ζ(2)−1 = π²/6 − 1 = 0.644934...。エルデシュは、同じオーダーの一致する上界を見つけられるかどうかを尋ねました。Statonは、この下界が正確な答えであると推測しました。しかし、誰も証明を提出できませんでした。

ここでTheo-Conjectureの出番です。ランディ・ダビラはグラフ理論家でFirstPrinciplesのメンバーであり、2016年からTxGraffitiを構築しています。彼は公約数グラフを独自に再発見し、2025年に数論学者Jeffrey Lagariasと連絡を取り、問題の歴史をたどりました。ダビラは問題をTheo-Conjectureループに投入しました。このシステムはチャットボットでも式を吐き出す機械でもなく、人間のアドバイザーがループ内にいる発見システムであり、大規模言語モデルがエージェントとして機能し、組み合わせ推測エンジンを繰り返し呼び出し、正確な計算を実行し、進化する数学的メモリを更新します。

システムの最初のアイデアは間違っていましたが、失敗は記録され、その後の試行を形作りました。より良い一致はCaro-Wei和から得られました。これは、特定のどのつながりではなく、各数字が持つ接続の数に注目します。これを使用すると、古い定数ζ(2)−1が自然に現れ、誰も予測しなかった二次項も現れました。しかし、それでも話の半分（下界）しか証明できませんでした。ギャップを埋めるには真の洞察が必要でした。残差は各数字が持つ接続の数のみを気にし、具体的にどの接続かは気にしないことに気づくことです。したがって、すべての数字が開始時と同じ接続数を維持する限り、グラフ全体を描き直すことができます。同じ接続数を持つ素数をグループ化して完全グラフにし、合成数が移動した接続を吸収させることで、一度に複数の素数を選択できないことを示せます。これはまさにStatonが予測した境界です。

これらすべてを組み合わせることで、Statonの元の予測が証明され、誰も見つけられなかった二次項が追加されました：R(Gₙ) = c₀·n/log n + (c₀−A)·n/log²n + O(n/log³n)。ここでc₀ = ζ(2)−1、A = Σ(k=2→∞) log k / [k²(k−1)] = 0.3201986326...。この定理は、次数のみの高速計算が、nが成長するにつれて真の素数計数の一定で予測可能な割合を捉えることを示しています。