首個足以登上數學頂刊的AI證明誕生，且不會止步於此

OpenAI的一個內部推理模型推翻了匈牙利數學家保羅·埃爾德什提出的單位距離猜想。OpenAI宣佈這一結果的同時，還發表了一篇由九位外部數學家合著的論文，他們對證明進行了驗證、簡化並新增了註釋。

問題本身看似簡單：在一張紙上放置一定數量的點，有多少對點之間的距離恰好為一個單位？1946年，埃爾德什猜想，在一個略微傾斜的方格網格上的簡單排列已經接近最優。該排列產生的點對數量僅略多於點的數量本身。據數學家托馬斯·布魯姆稱，埃爾德什曾懸賞500美元徵求反例。該問題被認為是“組合幾何中最著名（也最容易解釋）的問題”之一。

八十年後的更優構造

OpenAI的模型發現了一種新的點排列，其產生的單位距離對數量明顯多於經典的方格網格。普林斯頓大學的威爾·薩溫表示，每將點數翻倍，新構造的增益約為1%。聽起來很小，但意義重大，因為埃爾德什的猜想認為這種增益幾乎不可能存在。不過問題尚未完全解決：自1984年以來已知的一個理論上界仍然遠高於新構造達到的值。

最引人注目的是工具來源：不是幾何，而是代數數論。模型沒有使用經典的點網格，而是利用了複數系統，其內部對稱性轉化為特別密集的點模式。這些工具在數論中已使用數十年，但將其應用於平面幾何的基本問題，在參與的數學家看來，此前被認為是不切實際的。

人類為何錯過解決方案

托馬斯·布魯姆在合著論文中寫道，人類要找到這個解需要滿足四個條件：花大量時間研究該問題、押注埃爾德什的著名猜想是錯誤的並實際嘗試反駁、願意將原始構造轉換到數域世界、以及充分熟悉相當專業的類域論。布魯姆說：“AI滿足了所有這些標準。”它兼具“超乎人類的耐心和廣泛的技術機械知識”。

薩溫補充了一個技術原因，說明為何顯而易見的推廣會失敗。自然的方法是選擇一個擴充套件數系並不斷放大其中的片段，本質上是將舊網格膨脹到一個更復雜的數字世界。薩溫指出，這隻會回到舊的埃爾德什上界。模型的關鍵技巧恰恰相反：它在每個數系內保持規模固定，但每一步都切換到更豐富的數系。為什麼這種切換有效，人類無法直觀理解。

布魯姆在AI解決該問題前僅一個月的一篇博文中，將此問題列為他的“埃爾德什十大難題”之一。他的動機是：一些觀察者看到早期AI解決了更簡單的埃爾德什問題，就得出結論認為該數學家的所有問題都很瑣碎。布魯姆想表明，許多埃爾德什問題催生了數十年的深刻方法。單位距離猜想是他列表中唯一的離散幾何問題，正因為它“數十年來一直無法被證明”。布魯姆指出，1984年由斯賓塞、塞梅雷迪和特羅特建立的上界在40多年裡從未被改進：“這個問題很好地證明了，儘管近年來離散幾何取得了一些驚人成果，我們距離理解甚至最基本的問題還有很長的路要走。”他沒有料到AI僅一個月後就會攻克這個難題：“雖然我相信AI最終會在那個列表中的至少幾個問題上取得進展，但我沒想到僅僅一個月後就發生了！”

數學界的反應

著名組合數學家諾加·阿隆稱這一結果是“傑出成就”，並描述這個令人驚訝的發現是“以一種優雅而巧妙的方式運用了代數數論中相當複雜的工具”。菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯寫道，如果人類將這篇論文提交給《數學年刊》並要求快速評估，“我會毫不猶豫地建議接受”。此前沒有任何AI生成的證明接近這個水平。高爾斯稱之為“AI數學的里程碑”。

數論學家阿魯爾·尚卡爾認為，這項工作表明當前AI模型“不僅僅是人類數學家的助手——它們能夠產生原創的巧妙想法，並將其付諸實踐”。布魯姆補充說，該證明並未提供任何全新的幾何工具，而這正是完全證明該猜想可能需要的。但它表明“數論構造對這些型別的問題有比我們之前想象的更多的發言權”。他預計“未來幾個月，許多代數數論學家將密切關注離散幾何中的其他開放問題”。

為什麼這次不同

AI系統最近幾個月已經解決或部分解決了一系列埃爾德什問題。由布魯姆維護的平臺erdosproblems.com收錄了約1000個問題。據菲爾茲獎得主陶哲軒稱，到2025年9月，大約有380個已被解決。在2026年初的混亂時期，又有大約50個被攻克，有些由人類完成，有些由AI完成，有些是混合完成。其中一些解決方案只有幾頁紙，或者相當於有挑戰性的作業題。

這正是促使布魯姆編制前十名列表的原因。他注意到，他“不幸地看到一些數學家近來對埃爾德什問題越來越不屑一顧，可能是因為他們看到AI解決了網站上一些相當簡單的問題，並錯誤地認為所有埃爾德什問題都只是有趣的娛樂題，相當於奧數水平”。

單位距離的反例被明確歸入不同的類別，無論是在合著論文中還是由OpenAI方面。據OpenAI稱，這是“AI首次自主解決一個數學子領域中的突出開放問題”。布魯姆描述自己的反應：他的巨大驚訝“在得知這是一個反例時略有減弱”，在看到構造時進一步減弱。儘管如此，這一發現仍然成立：與之前的埃爾德什問題不同，這不是一個人人可及的習題。這是一個八十年來被認為困難的問題，其上界自1984年以來未變，其解決所需的工具來自一個遙遠的領域。

高爾斯總結道：如果人類提交了這項工作，他會“毫不猶豫地”將其接受至《數學年刊》。此前沒有任何AI生成的證明接近這個水平。

該結果對數學本身意味著什麼

參與的數位數學家利用合著論文反思AI對其領域貢獻的結構性後果。合著者丹尼爾·利特提出了令人不安的問題：為什麼存在可以用相對簡短、巧妙的論證解決的著名問題？他的猜測是：要麼研究人員堅持次優假設——比如埃爾德什本人相信自己的猜想正確——要麼解決方案需要大多數相關領域的人並不熟悉的區域的想法。

“這些解釋如果正確，應該讓我們感到不安，”利特寫道。“它們表明，朝向專業化和‘孤島化’的激勵雖然可以理解，但已經讓我們損失了一些高質量的科學成果。”利特將人類的方法（出於個人好奇心深入研究少數問題）與當前AI系統性地處理整個問題列表的方式進行了對比。這相當於“極大地擴充套件了針對數學問題的關注範圍”。

高爾斯對自己的反應直言不諱。當他最初認為AI證明了猜想而非推翻它時，他花了一晚上“調整我的世界觀：如果AI能提出這樣的證明，那麼數學家的末日可能很快到來。”第二天早上，當錯誤被澄清時，他“大大鬆了一口氣”。反例可以看作是耐心和試錯的結果。真正的證明需要“深刻洞察”，那將令人不安。

在合著論文中，高爾斯提出了自己的證明難度度量。他稱之為“基於專家知識的柯爾莫哥洛夫複雜度”——專家重建該證明所需的最短提示序列長度。他的初步結論：AI總體上並不比人類強，但在某些問題型別上有優勢。它擁有“百科全書式的數學知識”，不太擔心時間管理，因此可以“相當努力地嘗試證明那些似乎不太可能為真的陳述”。

即便如此，他說進步不會停滯。很快就會有AI解決方案“事後看來，我們將很難將其解釋為比預期容易”。即使AI無法找到長而複雜的證明，“我們很可能已經進入了一個人類很難在解決數學問題上與AI競爭的時代”。

布魯姆採取中間立場。對於他自己的測試問題——該證明是否教會了該領域一些關於這個問題的新知識——他回答“適度肯定”。數論構造顯然對這類問題的發言權比任何人想象的都多，所需的數論可以非常深入。領域內的一些人可能會失望，因為該證明沒有提供“強大的新幾何工具”或意想不到的結構結果，而這正是完全證明該猜想可能需要的。這個解“事後看來”是一個自然的推廣，但“高度非平凡”。人類要找到它需要四個罕見的巧合。

布魯姆這樣描述AI的優勢：它兼具“超乎人類的耐心”和“對大量技術機器的熟悉”，並且固執地追求“人類可能認為不值得花時間探索的路徑”。他的展望：“知識的前沿非常尖銳，毫無疑問，未來幾個月和幾年將在數學的許多其他領域看到類似的成功，AI透過揭示意外的聯絡並將現有技術機器推向極限，解決長期懸而未決的開放問題。”

人類與機器的分工

OpenAI發表的合著論文本身預覽了未來AI與研究人員之間如何分工。據布魯姆稱，模型生成的原始證明“完全有效”，但人類作者“顯著改進了它”。只有薩溫的改進產生了具體的改進度量。合著論文中的版本比原始版本更短、更一般化。

第二步最近是陶哲軒在斯坦福大學“數學的未來”研討會上演講的焦點。陶哲軒認為，數學實踐目前正在經歷“證明消化不良”：AI系統越來越快地生成和驗證證明，但人類的消化——理解、解釋、情境化和構建結果——跟不上。他對於解決方案是否真正完整的衡量標準是：能否有人就此作演講並回答問題？在單位距離反例的情況下，九位著名數學家同意做這項工作。這個標準能否擴充套件完全是另一個問題。