首个足以登上数学顶刊的AI证明诞生，且不会止步于此

OpenAI的一个内部推理模型推翻了匈牙利数学家保罗·埃尔德什提出的单位距离猜想。OpenAI宣布这一结果的同时，还发表了一篇由九位外部数学家合著的论文，他们对证明进行了验证、简化并添加了注释。

问题本身看似简单：在一张纸上放置一定数量的点，有多少对点之间的距离恰好为一个单位？1946年，埃尔德什猜想，在一个略微倾斜的方格网格上的简单排列已经接近最优。该排列产生的点对数量仅略多于点的数量本身。据数学家托马斯·布鲁姆称，埃尔德什曾悬赏500美元征求反例。该问题被认为是“组合几何中最著名（也最容易解释）的问题”之一。

八十年后的更优构造

OpenAI的模型发现了一种新的点排列，其产生的单位距离对数量明显多于经典的方格网格。普林斯顿大学的威尔·萨温表示，每将点数翻倍，新构造的增益约为1%。听起来很小，但意义重大，因为埃尔德什的猜想认为这种增益几乎不可能存在。不过问题尚未完全解决：自1984年以来已知的一个理论上界仍然远高于新构造达到的值。

最引人注目的是工具来源：不是几何，而是代数数论。模型没有使用经典的点网格，而是利用了复数系统，其内部对称性转化为特别密集的点模式。这些工具在数论中已使用数十年，但将其应用于平面几何的基本问题，在参与的数学家看来，此前被认为是不切实际的。

人类为何错过解决方案

托马斯·布鲁姆在合著论文中写道，人类要找到这个解需要满足四个条件：花大量时间研究该问题、押注埃尔德什的著名猜想是错误的并实际尝试反驳、愿意将原始构造转换到数域世界、以及充分熟悉相当专业的类域论。布鲁姆说：“AI满足了所有这些标准。”它兼具“超乎人类的耐心和广泛的技术机械知识”。

萨温补充了一个技术原因，说明为何显而易见的推广会失败。自然的方法是选择一个扩展数系并不断放大其中的片段，本质上是将旧网格膨胀到一个更复杂的数字世界。萨温指出，这只会回到旧的埃尔德什上界。模型的关键技巧恰恰相反：它在每个数系内保持规模固定，但每一步都切换到更丰富的数系。为什么这种切换有效，人类无法直观理解。

布鲁姆在AI解决该问题前仅一个月的一篇博文中，将此问题列为他的“埃尔德什十大难题”之一。他的动机是：一些观察者看到早期AI解决了更简单的埃尔德什问题，就得出结论认为该数学家的所有问题都很琐碎。布鲁姆想表明，许多埃尔德什问题催生了数十年的深刻方法。单位距离猜想是他列表中唯一的离散几何问题，正因为它“数十年来一直无法被证明”。布鲁姆指出，1984年由斯宾塞、塞梅雷迪和特罗特建立的上界在40多年里从未被改进：“这个问题很好地证明了，尽管近年来离散几何取得了一些惊人成果，我们距离理解甚至最基本的问题还有很长的路要走。”他没有料到AI仅一个月后就会攻克这个难题：“虽然我相信AI最终会在那个列表中的至少几个问题上取得进展，但我没想到仅仅一个月后就发生了！”

数学界的反应

著名组合数学家诺加·阿隆称这一结果是“杰出成就”，并描述这个令人惊讶的发现是“以一种优雅而巧妙的方式运用了代数数论中相当复杂的工具”。菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯写道，如果人类将这篇论文提交给《数学年刊》并要求快速评估，“我会毫不犹豫地建议接受”。此前没有任何AI生成的证明接近这个水平。高尔斯称之为“AI数学的里程碑”。

数论学家阿鲁尔·尚卡尔认为，这项工作表明当前AI模型“不仅仅是人类数学家的助手——它们能够产生原创的巧妙想法，并将其付诸实践”。布鲁姆补充说，该证明并未提供任何全新的几何工具，而这正是完全证明该猜想可能需要的。但它表明“数论构造对这些类型的问题有比我们之前想象的更多的发言权”。他预计“未来几个月，许多代数数论学家将密切关注离散几何中的其他开放问题”。

为什么这次不同

AI系统最近几个月已经解决或部分解决了一系列埃尔德什问题。由布鲁姆维护的平台erdosproblems.com收录了约1000个问题。据菲尔兹奖得主陶哲轩称，到2025年9月，大约有380个已被解决。在2026年初的混乱时期，又有大约50个被攻克，有些由人类完成，有些由AI完成，有些是混合完成。其中一些解决方案只有几页纸，或者相当于有挑战性的作业题。

这正是促使布鲁姆编制前十名列表的原因。他注意到，他“不幸地看到一些数学家近来对埃尔德什问题越来越不屑一顾，可能是因为他们看到AI解决了网站上一些相当简单的问题，并错误地认为所有埃尔德什问题都只是有趣的娱乐题，相当于奥数水平”。

单位距离的反例被明确归入不同的类别，无论是在合著论文中还是由OpenAI方面。据OpenAI称，这是“AI首次自主解决一个数学子领域中的突出开放问题”。布鲁姆描述自己的反应：他的巨大惊讶“在得知这是一个反例时略有减弱”，在看到构造时进一步减弱。尽管如此，这一发现仍然成立：与之前的埃尔德什问题不同，这不是一个人人可及的习题。这是一个八十年来被认为困难的问题，其上界自1984年以来未变，其解决所需的工具来自一个遥远的领域。

高尔斯总结道：如果人类提交了这项工作，他会“毫不犹豫地”将其接受至《数学年刊》。此前没有任何AI生成的证明接近这个水平。

该结果对数学本身意味着什么

参与的数位数学家利用合著论文反思AI对其领域贡献的结构性后果。合著者丹尼尔·利特提出了令人不安的问题：为什么存在可以用相对简短、巧妙的论证解决的著名问题？他的猜测是：要么研究人员坚持次优假设——比如埃尔德什本人相信自己的猜想正确——要么解决方案需要大多数相关领域的人并不熟悉的区域的想法。

“这些解释如果正确，应该让我们感到不安，”利特写道。“它们表明，朝向专业化和‘孤岛化’的激励虽然可以理解，但已经让我们损失了一些高质量的科学成果。”利特将人类的方法（出于个人好奇心深入研究少数问题）与当前AI系统性地处理整个问题列表的方式进行了对比。这相当于“极大地扩展了针对数学问题的关注范围”。

高尔斯对自己的反应直言不讳。当他最初认为AI证明了猜想而非推翻它时，他花了一晚上“调整我的世界观：如果AI能提出这样的证明，那么数学家的末日可能很快到来。”第二天早上，当错误被澄清时，他“大大松了一口气”。反例可以看作是耐心和试错的结果。真正的证明需要“深刻洞察”，那将令人不安。

在合著论文中，高尔斯提出了自己的证明难度度量。他称之为“基于专家知识的柯尔莫哥洛夫复杂度”——专家重建该证明所需的最短提示序列长度。他的初步结论：AI总体上并不比人类强，但在某些问题类型上有优势。它拥有“百科全书式的数学知识”，不太担心时间管理，因此可以“相当努力地尝试证明那些似乎不太可能为真的陈述”。

即便如此，他说进步不会停滞。很快就会有AI解决方案“事后看来，我们将很难将其解释为比预期容易”。即使AI无法找到长而复杂的证明，“我们很可能已经进入了一个人类很难在解决数学问题上与AI竞争的时代”。

布鲁姆采取中间立场。对于他自己的测试问题——该证明是否教会了该领域一些关于这个问题的新知识——他回答“适度肯定”。数论构造显然对这类问题的发言权比任何人想象的都多，所需的数论可以非常深入。领域内的一些人可能会失望，因为该证明没有提供“强大的新几何工具”或意想不到的结构结果，而这正是完全证明该猜想可能需要的。这个解“事后看来”是一个自然的推广，但“高度非平凡”。人类要找到它需要四个罕见的巧合。

布鲁姆这样描述AI的优势：它兼具“超乎人类的耐心”和“对大量技术机器的熟悉”，并且固执地追求“人类可能认为不值得花时间探索的路径”。他的展望：“知识的前沿非常尖锐，毫无疑问，未来几个月和几年将在数学的许多其他领域看到类似的成功，AI通过揭示意外的联系并将现有技术机器推向极限，解决长期悬而未决的开放问题。”

人类与机器的分工

OpenAI发表的合著论文本身预览了未来AI与研究人员之间如何分工。据布鲁姆称，模型生成的原始证明“完全有效”，但人类作者“显著改进了它”。只有萨温的改进产生了具体的改进度量。合著论文中的版本比原始版本更短、更一般化。

第二步最近是陶哲轩在斯坦福大学“数学的未来”研讨会上演讲的焦点。陶哲轩认为，数学实践目前正在经历“证明消化不良”：AI系统越来越快地生成和验证证明，但人类的消化——理解、解释、情境化和构建结果——跟不上。他对于解决方案是否真正完整的衡量标准是：能否有人就此作演讲并回答问题？在单位距离反例的情况下，九位著名数学家同意做这项工作。这个标准能否扩展完全是另一个问题。