数学の危機とAIカデミアの展望

数学は危機に瀕しているのだろうか。少なくとも、数学者たちは前例のない難題に直面している。しかし数学そのものは、もしかすると黄金時代に入りつつあるのかもしれない。この見かけ上の矛盾は、今後数年のうちに多くの学問分野に波及する可能性がある。したがって、数学者でなくとも、現在の数学を取り巻く状況を考えるべきだろう。私自身は哲学者であり数学者ではないが、哲学的論理学を専門とする私は、人文系の同僚よりは数学に近い立場にある。そのため、この危機の影響をより直接的に受けてきた。

ChatGPTに代表される大規模言語モデルが登場した当初、その言語能力は高く評価されたが、数学の能力は嘲笑の的であった。しかし、2024年9月のOpenAIのo1に始まり、2025年4月のo3へと続く「推論モデル」の登場により、状況は一変した。これらのモデルは、強化学習を通じて、最終回答を出す前に内部で「思考の連鎖」を行うよう訓練されている。問題を分解し、誤りを認識して修正し、失敗したアプローチを捨てて新たな方法を試す。その性能は、学習時の計算量と推論時の計算量を増やすことで向上し、特に検証可能なタスクであるプログラミングや数学で顕著な成果を上げている。

1年余り前、OpenAIとGoogleは、国際数学オリンピックで金メダルを獲得するAIモデルを発表した。その後、モデルの能力は自己完結的な問題から本格的な研究数学にまで拡大した。ここ数か月で、数十年にわたり数学者を悩ませてきた予想、特に「単位距離予想」と「ヤコビアン予想」（2次元以上の場合）が大規模言語モデルによって解決された。前者はChatGPTの内部モデル、後者はClaude Fable 5によるものだ。いずれの場合も、モデルは証明を構成したのではなく、反例を生成して予想を否定した。

この傾向を示す典型的な例が、Dmitry Rybin氏によるDinitz-Garg-Goemans予想の反例だ。彼はChatGPTに「画期的なことをすべきだ」という単純なプロンプトを与え、その後「検索を続け、問題構造をより深く理解することから得られる明確な戦略を持て」と促した。最終的に、ChatGPTは数学コミュニティに検証された完全な反例を生成した。AIが数学の未解決問題を解いた成果はvibemathed.comで追跡されている。数週間前には約60件だったが、この記事を書いている時点では220件に達しており、間もなく倍増するかもしれない。ツイッターでは、さまざまなスキルレベルのユーザーが予想を打ち破るプロンプトを共有している。

これらの反例は、機械的な力任せの探索の産物であると軽視するのは早計だ。単位距離予想の反例は、代数体論の深いアイデアを組み合わせ幾何学の問題に応用したもので、複数の著名な数学者が「美しい」と評した。ヤコビアン予想の反例は短くて検証も容易だったが、その生成には問題の深い理解が関わっていた。テレンス・タオ氏は、Fable 5による証明を理解するためにChatGPTを利用し、その対話ログをブログで公開した。チャットの中でChatGPTは、学生に助言する指導者のように「その通りです」と答え、丁寧に説明していた。このやり取りを読んで、私は事態の重大さを痛感した。

数学者は今、AI時代における自らの役割を問われている。先週開催された2026年国際数学者会議で、タオ氏はこの問題について講演した。彼が提唱した「AI能力予想」は、具体的な予想ではなく、将来のAIの数学能力に関するさまざまな楽観的・悲観的な予測を包含するスキーマである。問題解決に関して、タオ氏は証明生成が中心だった従来のパイプラインが変化し、AIによる「証明の豊かさ」の時代には、人間の研究者は証明の検証、解説、正準化に多くの時間を費やすようになるだろうと示唆した。

Grant Sanderson氏は、将来の数学者は芸術家というより美術館のキュレーターのような存在になると述べた。すなわち、AIが生成した膨大な数学的結果の中から、学ぶ価値のあるものを選び、一貫した流れに整理し、他の人々にわかりやすく提示するのだ。この提案は興味深いが、少し気が滅入る。芸術家に「自分で制作するのではなく、他の芸術家の作品をキュレーションしなさい」と言ったら、誰も喜ばないだろう。数学者も同様だ。彼らは研究の最前線を切り開くことを志望しており、単に他者の研究を整理するだけでは満足できない。AIが発見を加速する時代において、人間の数学者が果たすべき役割とは何か。この問いは、私たち全員に突きつけられている。