2026年6月29日、Ben Fauber氏とAlireza Moradzadeh氏はarXiv（arXiv:2607.15293）に「巡回-二進畳み込み誤差の構造」と題する論文を投稿しました。この論文は、アダマール変換を離散フーリエ変換（DFT）の代わりに使用する際に生じる代数誤差の特性を詳細に調べたものです。研究分野は機械学習、人工知能、数値解析にまたがります。
信号処理や数値計算において、二進畳み込みと巡回畳み込みはそれぞれアダマール変換とFFTベースのDFTを用いてO(N log N)時間で計算できます。アダマール変換は実数値の符号反転のみで計算できるため魅力的ですが、DFTの代わりに用いると代数的な誤差が発生します。本研究では、この誤差の構造を特徴づける3つの相補的な結果を提示しています。
第一に、特定の2つの入力位置と2つの出力位置では誤差が完全に打ち消され、出力の並べ替えによってもこの誤差ゼロ点を除去できないことが示されました。第二に、誤差作用素はほぼフルランクであるものの、その零空間は対数次元しかなく、作用素の自由度が高いにもかかわらず零空間が非常に小さいことが明らかになりました。第三に、ランダムフィルタの平均化により、期待誤差が単一の整列スカラーで支配される閉形式表現が得られました。
実用的には、アダマール変換の代替により出力エネルギーが漸近的に2倍になることが一般的ですが、普遍的なゼロ誤差部分空間に属するフィルタを使用すれば誤差は完全に回避できます。これらの結果は、代替誤差が構造化され、予測可能であり、整列性によって支配されることを示しています。この発見は、機械学習や信号処理における高速畳み込みアルゴリズムの最適化に重要な理論的基盤を提供するものです。