透過分箱頻譜損失在非結構化網格上進行混沌動力學的尺度感知學習

在科學計算與工程實踐中，高維非線性動力系統的替代建模一直是一項核心挑戰，尤其當系統展現出混沌行為時，傳統的點對點損失函式往往無法捕捉物理場中至關重要的尺度依賴結構。結構化網格上的分箱頻譜損失函式透過傅立葉模的頻率分解提供了有效的尺度感知監督，但在實際應用中，許多問題涉及非結構化網格，而這些網格上並不存在標準的傅立葉基。為了突破這一限制，本研究將分箱頻譜損失函式成功擴充套件到了非結構化網格場景。

研究團隊提出利用圖拉普拉斯頻帶替代傅立葉頻帶，從而在非結構化網格上定義頻譜表示。圖拉普拉斯運算元的特徵空間提供了一種自然的傅立葉類比，透過匹配頻帶功率來提供尺度感知監督。然而，全頻譜方法需要對圖拉普拉斯矩陣進行顯式特徵分解，計算成本極高。為此，研究者引入了兩種可擴充套件的近似方案：首先是稀疏切比雪夫多項式圖濾波器，它透過多項式近似實現頻帶投影，避免了顯式特徵分解，大幅降低了計算開銷；其次，在多層圖架構中，他們提出了GLEAM（Graph Laplacian Energy Alignment for Meshes），該方法在圖的層次結構中應用保留子空間的尺度感知監督，從而在自迴歸滾動過程中規範化粗細表示之間的能量分佈。

實驗在非結構化網格上的湍流預測任務中展開。結果表明，與確定性基線相比，所提出的頻譜損失函式不僅顯著提高了長時滾動預測的保真度，而且更好地保持了能量譜等統計不變數。這一創新為非結構化網格上混沌動力系統的替代建模提供了新的視角，有望在計算流體力學、氣候建模等領域發揮重要作用。