OpenAI的数学突破：发挥人工智能的优势

上周，OpenAI宣布其内部AI模型推翻了埃尔德什单位距离猜想，这是离散几何中的一个著名问题，困扰了人类数学家80年。OpenAI向几位数学家提供了早期访问权限，并公布了他们的反应。菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯写道：“毫无疑问，单位距离问题的解决是AI数学的一个里程碑。”多伦多大学教授丹尼尔·利特表示：“这是AI自主产生的结果中第一个让我本身感到兴奋的例子，而不仅仅是作为一个前兆。”

这可以说是AI系统首次找到解决重大公开猜想的证明。这令人印象深刻，但我并不认为这是AI在数学领域进步轨迹中的根本性突破。三年前，LLM还在努力解决算术问题。直到去年，LLM才开始在高中数学竞赛中取得优异成绩。

今年1月，我参加了全球最大的年度数学会议——联合数学会议，了解到AI系统开始对数学研究做出贡献，但仅限于有限的环境。将AI输出转化为可发表的定理需要大量的人为解释。OpenAI的新结果是这一进展的下一步。AI模型巧妙地运用了来自多个数学子领域的现有思想，创建了完整的证明。但它并未开创任何真正的新技术。此后，人类数学家对该结果进行了整理和扩展。

这指向了一个中期未来，人类数学家与AI模型相辅相成：AI对过去工作的了解比任何在世的人类都更广泛，并且更愿意尝试那些不太可能成功的繁琐证明策略。但人类仍然能够更深入地思考任何一个问题，并提出更有趣的问题。这种情况可能不会持续太久。AI系统在数学方面进步如此迅速，以至于十年后人类数学家将扮演什么角色——如果还有任何角色的话——尚不清楚。

单位距离问题

保罗·埃尔德什是历史上最多产的数学家之一，一生撰写了超过1500篇论文。他最伟大的天赋之一是提出那些表述简单但根基深厚的问题。1946年，他提出了单位距离问题。想象一下，你在二维平面上有一些点，并测量每对点之间的距离。例如，在五个点的情况下，有三对距离恰好为1个单位。问题在于：能否重新排列点，使得更多对点的距离恰好为1？答案是肯定的，但点数增加后，问题变得极其复杂。

因此，埃尔德什转而研究对于n个点，单位距离对数的上下界。他假设点以网格排列，以此计算下界。OpenAI的AI证明这种假设是错误的，并展示了一种更复杂的点排列方式，使得单位距离对数更多。AI在高维空间中构建了一个网格，然后将这个更复杂的结构投影到二维中，并使用了代数整数而非普通整数网格。这种高维网格具有更丰富的结构，允许在相同数量的点中容纳更多单位距离。

尽管AI的证明没有明确给出可能的单位距离对数，但人类数学家威尔·索温证明，该对数至少以n^1.014的速度增长。虽然增长率看似很小，但对于非常大的n，这将远大于埃尔德什方法产生的数量。不过，该结果并未完全解决问题，单位距离对数的上界仍为n^1.333，需要进一步研究。

该结果在AI数学中的地位

如果在上周之前问我，LLM对数学最创新的贡献是什么，我可能会指向Google DeepMind的AlphaEvolve系统。AlphaEvolve利用LLM作为优化过程的引擎，能够在某些问题上找到比人类更好的解决方案。但AlphaEvolve仍需要人类将问题框架化为优化问题，并将AI输出转化为可用的数学。

OpenAI的结果是向直接输出正确答案方向迈出的重要一步，但也符合之前AI辅助数学的模式。其他公司也在开发类似系统。这一进展表明，AI在数学领域的应用正在快速深化，未来人类与AI的合作将更加紧密。