近年、機械学習タスクでは多様体上のデータが一般的になってきています。例えば、コンピュータビジョンにおける対称正定値行列や、ロボティクスにおける回転行列などです。深層ニューラルネットワーク（DNN）は多様体上で動作するように拡張され、さまざまな幾何構造に合わせた正規化手法、すなわちリーマン正規化が開発されてきました。しかし、既存のリーマン正規化手法のほとんどは特定の多様体にのみ適用可能であるか、多様体上のサンプル分布を効果的に正規化できません。これらの問題を解決するために、研究者らはリー群上のリーマンバッチ正規化フレームワークであるLieBNを提案しました。
LieBNの核となる革新は、リー群に自然に存在する左不変・右不変計量を活用し、リーマン平均と分散を理論的に制御する点にあります。このフレームワークは9つの異なる幾何構造で実装されています：対称正定値（SPD）多様体上の4つの計量、回転行列群（SO(3)）上の1つの計量、そしてフルランク相関行列多様体上の4つの計量です。特に、SPD計量では新しい右不変計量が導入され、行列のべき乗変形により既存の3つのリー群構造が拡張されました。
広範な実験により、LieBNフレームワークの有効性がさまざまな多様体で検証されました。研究者らは複数の多様体で性能評価を行い、LieBNがサンプル分布を効果的に正規化し、モデルの訓練安定性と汎化性能を向上させることを実証しました。コードはGitHubで公開されています（https://github.com/GitZH-Chen/LieBN.git）。本論文は2026年6月13日に提出され、arXivに収録されています。なお、arXiv:2403.11261と一部テキストが重複しています。この研究は、多様体上の深層学習における汎用的な正規化ツールを提供し、関連分野の発展に寄与することが期待されます。