从观测数据中直接发现控制方程是实现可解释科学机器学习的关键一步。然而，当前的数据驱动方法通常只针对单一数据集进行训练，当观测数据有限时，其性能会受到本质限制。在实际场景中，同一个物理系统往往可以通过多个数据集来描述，这些数据集之间的区别仅在于初始条件或边界配置不同。为了充分利用这些异构数据，来自Hao Xu、Dongxiao Zhang等研究者的论文提出了一种名为MCO-PDE的竞争性优化框架，旨在从多源数据集中联合发现共享的偏微分方程（PDE）。
MCO-PDE的核心思想分为两个阶段。首先，框架为每个数据源独立训练一个神经网络代理模型，以捕捉该数据源对应的局部动力学行为。然后，引入一种软竞争加权机制，动态评估每个数据集的可靠性，并聚合出一个全局一致的系数。这种加权方式允许框架在融合过程中自动降低低质量或噪声较大的数据源的影响，从而提升整体发现的鲁棒性。与此同时，MCO-PDE集成了遗传算法来进行结构搜索，能够同时识别控制方程的函数形式和具体参数。这意味着框架不仅能够拟合系数，还能从候选函数库中搜索出正确的数学表达式。
为了验证方法的有效性，研究团队在七个不同的案例上进行了实验。结果显示，即使每个数据集仅提供50个观测点，MCO-PDE也能以高精度恢复出典型的偏微分方程。这些案例涵盖了多种类型的方程，证明了框架在数据稀缺条件下的强大能力。此外，该框架天生能够处理二维和三维域，并且对不规则边界和异质系数具有适应性，这大大扩展了其在实际物理问题中的应用范围。
更值得一提的是，MCO-PDE还成功地从真实世界的波浪槽实验中提取出了具有物理意义的控制方程。波浪槽实验通常涉及复杂的流体动力学过程，数据中包含噪声和不确定性，能够从中发现简洁的物理定律，显示了该方法在实验科学中的潜力。总体而言，这项研究为通过异构数据融合实现自动化科学发现开辟了一条有前景的道路，未来有望帮助科学家从多源观测中更高效地提炼自然规律。