AIが87年来の謎を解き、数学者を驚かせる

ハーバード大学の数学者レベント・アルポゲ（Levent Alpöge）氏は最近、ソーシャルメディアX上で、AIの助けを借りて87年来の難問であるヤコビアン予想（Jacobian conjecture）を解決したと発表した。驚くべきことに、その証明はわずか216文字の反例であり、予想が誤りであることを示している。ヤコビアン予想は1939年にオットー＝ハインリッヒ・ケラーによって正式に提唱され、数学関数の逆方向への適用可能性を述べたもので、長年正しいと考えられてきた。アルポゲ氏は、Anthropic社のClaude Fable 5というAIモデルを「親友fable」と呼び、ワールドカップ決勝戦中に協力してくれたことに感謝している。

ロンドン大学クイーン・メアリー校のアブシェク・サハ（Abhishek Saha）氏は、AIの数学における最近の進歩は驚くべきものだが、今回の発見は特に重要だと述べる。「おそらくこれは、AIが数学において決定的な役割を果たした最大の予想でしょう。これは非常に大きな出来事です。AIは過去1年で目覚ましい進歩を遂げました。」サハ氏によれば、アルポゲ氏の反例は簡単に検証でき、多くの数学者がすでに確認済みだが、最大の疑問はどのようにしてそれが行われたかだという。「非常に難しい問題だが、解決策があれば確認は比較的容易です。私は彼がどのように行ったのか、Fableにどのようなプロンプトを与えたのかを知りません。なぜなら、すべてを検索するだけではうまくいかないからです。明らかに、まだ公開されていない洞察があるのでしょう。」サハ氏は、結果の出現と性質の両方が驚きだと述べる。「人々はヤコビアン予想を証明しようとしてきました。なぜなら直感的に非常に真実に聞こえるからです。多くの人がそれを反証しようとは思っていなかったでしょう。そして今、この一文の反例があるのです。」

しかし、サハ氏によれば未解決の疑問も残っている。例えば、この新しい反例は3変数で予想を否定するが、2変数のバージョンは理論的にはまだ真である可能性がある。英国ヨーク大学のクリス・ボウマン＝スカーギル（Chris Bowman-Scargill）氏は、数学者たちはある意味でAIの驚くべき能力にすでに適応しているが、反例の発見と数学の新しい分野の構築には違いがあり、後者には依然として人間の創造性が必要だと指摘する。「フェルマーの最終定理（アンドリュー・ワイルズが1994年に解決）の場合、新しい数学を100ページも作り、予想を解くために大きな理論を構築する必要がありました。数学で面白いのは、予想が解けたという事実ではなく、その過程で構築されるものなのです。」彼はAIがこれをできることを証明したので、「次は何だ？」という段階だと述べる。中国の西湖大学のイワン・フェセンコ（Ivan Fesenko）氏は、今後ますます高性能なAIモデルが登場し、より複雑な問題を解決して数学の分野を根本的に変えると予測する。「現在、AIはすでに数学の修士号を取得できます。1年後には博士号を取得するでしょう。そうなると、AIがこれほど素晴らしいことができるのに、本当に多くの数学者が必要なのかという疑問が生じます。つまり、私たちは数学の根本的な変化について話しているのです。」